Sejam a e b dois números positivos tais que a + b = 5. O menor valor que a expressão \({ \Large { 1 \over a}} + { \Large { 1 \over b}}\) pode assumir é

Gabarito

D

Comentário do professor

Reescrevendo a expressão temos \( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{a+b}{ab}=\dfrac{5}{ab}\). Assim o valor é determinado por \(ab\): quanto maior o denominador, menor o quociente.

Para números positivos com soma fixa, o produto é máximo quando os termos são iguais. Pelo AM-GM: \(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\), logo \(ab\le\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\). Com \(a+b=5\) obtemos \(ab\le\left(\dfrac{5}{2}\right)^2=\dfrac{25}{4}\), com igualdade quando a=b=5/2.

Portanto o menor valor da expressão ocorre com \(ab=\dfrac{25}{4}\) e vale \(\dfrac{5}{25/4}=\dfrac{4}{5}\). O resultado é \(\dfrac{4}{5}\).