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Questão FC572423

Considere o polinômio de décimo grau p(x) = 5x10 + 8x7 + 4x6 + 5x5 + 3x2 + x − 10. Seja N o número de raízes reais positivas de p(x). É correto afirmar que

Polinômios e Equações Polinomiais. Expansão de Binômios. Triângulo de Pascal

FCC · 2022

Considere o polinômio de décimo grau p(x) = 5x10 + 8x7 + 4x6 + 5x5 + 3x2 + x − 10.

 

Seja N o número de raízes reais positivas de p(x). É correto afirmar que

  1. N = 0.
  2. N = 1.
  3. N = 2.
  4. \(N \ge 0\)
  5. N = 10.
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Gabarito

B

Comentário do professor

Aplicamos a Regra de sinais de Descartes para determinar o número de raízes reais positivas de \(p(x)\). Essa regra diz que o número de raízes positivas é igual ao número de variações de sinal nos coeficientes de \(p(x)\) ou é menor que esse número por um inteiro par.

Escrevendo os coeficientes não nulos em ordem decrescente de potência obtemos: \(+5,\ +8,\ +4,\ +5,\ +3,\ +1,\ -10\). Coeficientes nulos entre termos não alteram as variações de sinal.

Ao percorrer essa sequência há apenas uma mudança de sinal (do \(+1\) para \(-10\)). Portanto o número de raízes positivas é exatamente 1.

Logo, \(N=1\).

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