O polinômio \(P(x)=x^2+ax+b\) quando dividido por \(x-3\) fornece resto 0, mas quando dividido por \(x-5\) fornece resto 2. O resto da divisão de \(P(x)\) por \(x-4\) é:

Gabarito

A

Comentário do professor

Aplicamos o Teorema do Resto: o resto da divisão de \(P(x)\) por \(x-c\) é \(P(c)\). Como o resto por \(x-3\) é 0, temos \(P(3)=0\), ou seja \(9+3a+b=0\) ⇒ \(3a+b=-9\).

Como o resto por \(x-5\) é 2, temos \(P(5)=2\), ou seja \(25+5a+b=2\) ⇒ \(5a+b=-23\).

Subtraindo as equações: \(2a=-14\) ⇒ \(a=-7\). Substituindo em \(3a+b=-9\) obtemos \(b=12\). Assim \(P(x)=x^2-7x+12\).

Calculando o resto por \(x-4\): basta avaliar \(P(4)=4^2-7\cdot4+12=16-28+12=0\). Portanto o resto é 0.