Considere \(f(x)= { \large e^{ \times} \over x -1},x \in \mathbb{R}\) e \(x \neq 1\). O valor de tal que In[f(x)] = x é:

Gabarito

D

Comentário do professor

Substituindo \(f(x)=\dfrac{e^x}{x-1}\) em \(\ln[f(x)]=x\) obtemos \(\ln\!\left(\dfrac{e^x}{x-1}\right)=x\).

Aplicando a propriedade do logaritmo: \(\ln(a/b)=\ln a-\ln b\) e sabendo que \(\ln(e^x)=x\), vem \(x-\ln(x-1)=x\).

Cancelando \(x\) em ambos os lados fica \(-\ln(x-1)=0\), ou seja \(\ln(x-1)=0\).

Elevando \(e\) aos dois lados resulta \(x-1=1\) e, portanto, \(x=2\).

Verificação: é preciso \(f(x)>0\) para o logaritmo. Para \(x=2\) temos \(f(2)=e^2>0\) e \(x\neq1\), logo \(x=2\) é solução válida.