Seja x um número real tal que 4x = 3. O valor de \(log_{\frac{1}{3}}12\) , em função de x, é

Gabarito

A

Comentário do professor

Temos \(4^x=3\). Aplicando o logaritmo de base 4 em ambos os lados, obtém-se \( \log_4 3 = x\).

Calcule \( \log_{\frac{1}{3}}12\) usando a mudança de base para base 4: \( \log_{\frac{1}{3}}12 = \dfrac{\log_4 12}{\log_4 \frac{1}{3}}\).

Simplificando o numerador e o denominador: \( \log_4 12 = \log_4(4\cdot 3)=1+\log_4 3\) e \( \log_4\frac{1}{3}=\log_4 3^{-1}=-\log_4 3\).

Assim \( \log_{\frac{1}{3}}12 = \dfrac{1+\log_4 3}{-\log_4 3} = -\dfrac{1+\log_4 3}{\log_4 3}.\)

Substituindo \( \log_4 3 = x\) resulta \( \log_{\frac{1}{3}}12 = -\dfrac{x+1}{x}\), que é a expressão desejada.