Seja α um número real. Considere a função \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\), definida por \(f(x) = \begin{cases} -x \text{, se } x \le 0 \\ x \text{, se } x > 0 \end{cases}\

Gabarito

Certo

Comentário do professor

A função é \(f(x)= -x\) para \(x\le0\) e \(f(x)=x\) para \(x>0\). Queremos soluções de \(1-2f(x)=\alpha x\).

Caso \(x\le0\): substituindo \(f(x)=-x\) obtém-se \(1+2x=\alpha x\), ou \(x(\alpha-2)=1\), isto é \(x=\dfrac{1}{\alpha-2}\). Para que esse \(x\) seja não positivo precisamos de \(\alpha-2<0\), logo \(\alpha<2\).

Caso \(x>0\): com \(f(x)=x\) vem \(1-2x=\alpha x\), ou \(x(\alpha+2)=1\), isto é \(x=\dfrac{1}{\alpha+2}\). Para \(x>0\) precisa-se de \(\alpha+2>0\), isto é \(\alpha>-2\).

Conclusão: para \(\alpha\in\;]-2,2[\) as duas expressões produzem uma solução válida em cada ramo (uma negativa e outra positiva). Como \(x=0\) não resolve a equação, obtemos exatamente duas soluções reais. Portanto \(\alpha\in\;]-2,+2[.\)