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Questão FC572459

A figura abaixo mostra o gráfico da função \(f : ( -5,5) \rightarrow \mathbb{R}\) , representado pela linha preta sólida. Dado qualquer número real \(X_0 \in [ -5,5]\), considere a

Funções e Inequações

FCC · 2022

A figura abaixo mostra o gráfico da função \(f : ( -5,5) \rightarrow \mathbb{R}\) , representado pela linha preta sólida.

 

Dado qualquer número real \(X_0 \in [ -5,5]\), considere a sequência de números dada pela recorrência \(X_{n +1} = f( X_n), n = 0,1,2,...\)todo \(X_0 \in [ -5,5]\), quando n cresce, tem-se que existe N > 0 tal que, para todo \(n \ge N\),

  1. \(X_n \in [ -1,1]\)
  2. \(X_n \in [ -1,0]\)
  3. \(X_n \in [ 0,1]\)
  4. \(X_n \in ] - \infty, -1]\)
  5. \(X_n \in ] 1, + \infty[\)
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Gabarito

A

Comentário do professor

Considere a sequência definida por \(X_{n+1}=f(X_n)\). Observando o gráfico nota-se que o intervalo \([-1,1]\) é invariante, ou seja, para todo \(x\in[-1,1]\) tem-se \(f(x)\in[-1,1]\). Assim, uma vez que um termo da sequência entre em \([-1,1]\), todos os termos seguintes permanecem nesse intervalo.

Além disso, o gráfico mostra que pontos iniciais em todo o domínio \((-5,5)\) têm suas imagens encaminhadas para a faixa central; portanto, para qualquer \(X_0\in[-5,5]\) existe \(N>0\) tal que \(X_N\in[-1,1]\). A partir desse \(N\) vale \(X_n\in[-1,1]\) para todo \(n\ge N\).

Logo, o intervalo \([-1,1]\) é absorvente para a sequência, justificando a alternativa correta.

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