Uma função f(x) é tal que \(f\left({\large \frac{1}{x}}\right)-2f(x)=x\) , para todo x ≠ 0. O valor de f(2) é

Gabarito

A

Comentário do professor

Isolando a função na relação dada \(f\!\left(\frac{1}{x}\right)-2f(x)=x\), obtemos \(f\!\left(\frac{1}{x}\right)=x+2f(x)\).

Tomando \(x=2\) segue \(f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=2+2f(2)\).

Tomando \(x=\tfrac{1}{2}\) obtemos \(f(2)=\tfrac{1}{2}+2f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)\).

Substituindo a expressão de \(f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)\) na última igualdade: \(f(2)=\tfrac{1}{2}+2\big(2+2f(2)\big)=\tfrac{1}{2}+4+4f(2)=\tfrac{9}{2}+4f(2)\).

Isolando \(f(2)\): \(f(2)-4f(2)=\tfrac{9}{2}\), ou seja \(-3f(2)=\tfrac{9}{2}\), daí \(f(2)=-\tfrac{9}{6}=-\tfrac{3}{2}\).

Resposta: \(f(2)=-\tfrac{3}{2}\).