Questão FC572462
A figura mostra, no plano cartesiano, um círculo de raio r, centrado na origem do sistema de coordenadas, e um retângulo de lados paralelos aos eixos coordenados inscrito no círcul
Razões e Funções Trigonométricas. Ciclo Trigonométrico.
FCC · 2021
A figura mostra, no plano cartesiano, um círculo de raio r, centrado na origem do sistema de coordenadas, e um retângulo de lados paralelos aos eixos coordenados inscrito no círculo.
Sabendo que o ângulo entre o eixo x e a reta que passa pela origem e por um dos vértices do retângulo mede \(θ\), a área externa ao retângulo e interna ao círculo vale
- \(r^2(\pi -2 \sin (θ))\)
- \(2r(\pi-\sin(2 θ))\)
- \(r^2(\pi- 2 \sin (2 θ))\)
- \(r(\pi-2\sin(θ))\)
- \(2r^2(\sin(2 θ))\)
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Área procurada: é a região interna ao círculo e externa ao retângulo inscrito, logo \(A=A_{\circ}-A_{r}\).
O círculo tem área \(A_{\circ}=\pi r^{2}\). Seja \(b\) a base e \(h\) a altura do retângulo; então \(A_{r}=b\cdot h\).
Um vértice do retângulo tem coordenadas \((\tfrac{b}{2},\tfrac{h}{2})\) sobre o círculo de raio \(r\). Usando trigonometria, \(\cos\theta=\tfrac{b}{2r}\) e \(\sin\theta=\tfrac{h}{2r}\), portanto
\(b=2r\cos\theta\)
\(h=2r\sin\theta\).
Assim \(A_{r}=b\cdot h=4r^{2}\sin\theta\cos\theta=2r^{2}\sin(2\theta)\).
Finalmente \(A=\pi r^{2}-2r^{2}\sin(2\theta)=r^{2}\bigl(\pi-2\sin(2\theta)\bigr)\), que é a expressão indicada.
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