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Questão FC572480

Ana, Beto, Clara, Diva e Edu disputam uma maratona de matemática. Para cada problema respondido corretamente ganham 1 ponto e se errarem nada ganham. A soma dos pontos recebidos pe

Álgebra Linear Elementar

FCC · 2022

Ana, Beto, Clara, Diva e Edu disputam uma maratona de matemática. Para cada problema respondido corretamente ganham 1 ponto e se errarem nada ganham. A soma dos pontos recebidos pelos cinco participantes é 75. A diferença de pontos entre Ana e Beto é 2, mas não necessariamente nessa ordem, a diferença de pontos entre Beto e Clara é 3, mas não necessariamente nessa ordem, a diferença entre Clara e Diva é 4 e entre Diva e Edu é 9. Sabe-se que Edu teve a maior pontuação e Diva a menor pontuação dentre os cinco. A soma das pontuações obtidas por Ana e Beto é

  1. 31
  2. 24
  3. 32
  4. 36
  5. 33
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Gabarito

Certo

Comentário do professor

Defina as pontuações \(a,b,c,d,e\) para Ana, Beto, Clara, Diva e Edu. Temos \(a+b+c+d+e=75\). Como Diva é a menor e Edu a maior, \(c-d=4\) e \(e-d=9\), logo \(c=d+4\) e \(e=d+9\).

Se assumirmos \(c=b+3\) então \(b=d+1\). Como \(a\) não pode ser menor que \(d\), segue \(a=b+2=d+3\). Substituindo: \( (d+3)+(d+1)+(d+4)+d+(d+9)=75\Rightarrow5d+17=75\Rightarrow d=\tfrac{58}{5}\), não inteiro, impossível.

Logo \(b=c+3=d+7\). Entre \(a\) e \(b\) a diferença é 2; não pode ser \(a=b+2\) porque daria \(a=d+9=e\), violando que Edu é o maior. Então \(b=a+2\Rightarrow a=d+5\). Substituindo: \(5d+25=75\Rightarrow d=10\).

Assim \(a=15\) e \(b=17\), e \(a+b=\) 32.

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