Na figura abaixo os ângulos A\(\widehat{C}\)D e A\(\widehat{D}\)C são iguais ao segmento \(\overline{AD}\) divide o B\(\widehat{A}\)C ao meio. O ângulo A\(\widehat{B}\)D vale 54º.

Gabarito

B

Comentário do professor

Seja x o ângulo interno em D do triângulo ADC, isto é \(x=\widehat{A D C}\), e seja y cada metade do ângulo em A (pois \(\overline{AD}\) bisecta \(\widehat{B A C}\)), ou seja \(y=\widehat{B A D}=\widehat{D A C}\).

No triângulo ADC temos \(y+2x=180^\circ\) porque os ângulos em C e D são iguais.

No triângulo ABD os ângulos são \(y\) em A, \(54^\circ\) em B e o ângulo em D é externo ao triângulo ADC, igual a \(180^\circ-x\). Assim \(y+54^\circ+(180^\circ-x)=180^\circ\), que simplifica para \(x=y+54^\circ\).

Substituindo em \(y+2x=180^\circ\): \(y+2(y+54^\circ)=180^\circ\Rightarrow 3y=72^\circ\Rightarrow y=24^\circ\). Então \(x=78^\circ\).

Portanto \( \widehat{A D B}=180^\circ-x=180^\circ-78^\circ=\) 102º.