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Questão FC572503

Em cada vértice de um quadrado é colocado um número natural e estritamente maior do que 0. Em seguida, cada lado recebe um número que é dado pelo produto dos números que foram colo

Geometria Plana

FCC · 2024

Em cada vértice de um quadrado é colocado um número natural e estritamente maior do que 0. Em seguida, cada lado recebe um número que é dado pelo produto dos números que foram colocados em seus vértices, como mostra a figura.

 

 

Se a soma dos quatro produtos é 35, a soma dos números colocados nos vértices é

  1. 10.
  2. 12.
  3. 35.
  4. 34.
  5. 25.
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Gabarito

B

Comentário do professor

Sejam os números dos vértices \(A,B,C,D\) dispostos em ordem no quadrado. Os números nos lados são \(AB,\,BC,\,CD,\,DA\) e a soma dada é \(AB+BC+CD+DA=35\).

Agrupando termos obtemos a fatoração \(AB+BC+CD+DA=(A+C)(B+D)\). Assim, \((A+C)(B+D)=35\).

Como \(A,B,C,D\) são naturais estritamente positivos, as somas \(A+C\) e \(B+D\) também são inteiras maiores que 1. Os fatores positivos de 35 são \(1,5,7,35\); a única decomposição possível com ambos maiores que 1 é \(5\times7\).

Logo, \(A+C=5\) e \(B+D=7\), ou vice-versa. Portanto a soma dos quatro números é \((A+C)+(B+D)=5+7=12\).

Conclusão: a soma é 12.

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