Na figura, o quadrilátero ABCD é um losango cujo ângulo interno BÂD mede 60° e cuja circunferência inscrita tem raio de comprimento r. A área desse losango é igual a:

Gabarito

A

Comentário do professor

Temos um losango com uma circunferência inscrita de raio \(r\). A distância entre lados paralelos, isto é, a altura do losango, vale \(h=2r\), pois o diâmetro do incírculo mede a separação entre as bases.

Chamando o lado do losango de \(l\), a área é \(A=l\cdot h\).

Pelo dado do ângulo \(BÂD=60^\circ\), no triângulo retângulo relativo à altura vale \(\sin60^\circ=\dfrac{h}{l}\).

Como \(\sin60^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}\) e \(h=2r\), temos \(\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{2r}{l}\), daí \(l=\dfrac{4r}{\sqrt3}\).

Portanto \(A=l\cdot h=\dfrac{4r}{\sqrt3}\cdot 2r=\dfrac{8r^2}{\sqrt3}=\dfrac{8\sqrt3}{3}\,r^2\), que é a expressão pedida.