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Questão FC572527

Uma esfera de raio R = 10 m tem centro no ponto C = (4,7,5). Um plano dado pela equação x + 2y + 2z = 10 intercepta a esfera. A interseção entre a esfera e o plano forma um círculo

Geometria Espacial

FCC · 2025

Uma esfera de raio R = 10 m tem centro no ponto C = (4,7,5). Um plano dado pela equação x + 2y + 2z = 10 intercepta a esfera. A interseção entre a esfera e o plano forma um círculo de raio r. O volume do cone, em m3, de vértice no ponto C e base sendo o círculo de raio r é:

  1. \({512\over 3} \pi\).
  2. 512\(\pi\).
  3. 256\(\pi\).
  4. 64\(\pi\).
  5. 128\(\pi\).
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Gabarito

Errado

Comentário do professor

Calculemos a distância do centro \(C=(4,7,5)\) ao plano \(x+2y+2z=10\) usando a fórmula \(\displaystyle d=\frac{|ax_0+by_0+cz_0-d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\).

Temos \(d=\frac{|1\cdot4+2\cdot7+2\cdot5-10|}{\sqrt{1+4+4}}=\frac{18}{3}=6\). Essa distância é a altura \(h\) do cone com vértice em \(C\).

Na seção circular, o raio \(r\) satisfaz \(r=\sqrt{R^2-h^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\;8\). Assim \(r=8\).

O volume do cone é \(V=\dfrac{\pi r^2 h}{3}=\dfrac{\pi\cdot8^2\cdot6}{3}=\;128\pi\), que é o resultado final.

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