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Questão FC572533

Um quadrilátero pipa tem dois pares de lados congruentes e adjacentes e suas diagonais se intersectam formando ângulo reto. Um prisma reto, de altura igual a 5 cm, tem por base um

Geometria Espacial

FCC · 2022

Um quadrilátero pipa tem dois pares de lados congruentes e adjacentes e suas diagonais se intersectam formando ângulo reto. Um prisma reto, de altura igual a 5 cm, tem por base um quadrilátero pipa como o da figura.

 

 

Sabendo que a diagonal maior da base desse prisma mede 9 cm, seu volume é igual a

  1. 77,5 cm3
  2. 52,5 cm3
  3. 65 cm3
  4. 40 cm3
  5. 90 cm3
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Gabarito

Errado

Comentário do professor

Considere o ponto de interseção das diagonais e seja \(AO=x\), \(CO=9-x\) e \(BO=DO=y\). Pela propriedade do pipa, a diagonal maior intercepta a menor em sua metade, portanto a menor vale \(d=2y\).

Observando a figura, aplicando o Teorema de Pitágoras nos triângulos retângulos formados, obtemos o sistema: \(x^2+y^2=13\) e \((9-x)^2+y^2=40\).

Subtraindo as equações surge \( (9-x)^2-x^2=27\), o que leva a \(x=3\). Substituindo em \(x^2+y^2=13\) resulta \(y=2\), então \(d=4\).

O volume do prisma é \(V=\text{área da base}\times h=\dfrac{D\cdot d}{2}\cdot5=\dfrac{9\cdot4}{2}\cdot5=90\ \text{cm}^3\).

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