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Questão FC572543

No plano cartesiano, a reta r, de equação x + 2y = 12, intersecta a reta s, de equação 3x + y = −4, no ponto P(−4, 8). A reta t intersecta as retas r e s nos pontos R e Q, conforme

Geometria Analítica

FCC · 2022

No plano cartesiano, a reta r, de equação x + 2y = 12, intersecta a reta s, de equação 3x + y = −4, no ponto P(−4, 8). A reta t intersecta as retas r e s nos pontos R e Q, conforme mostra a figura.

 

 

O ponto R está no primeiro quadrante e sua abscissa é 3 unidades a mais do que a abscissa do ponto Q. Sabendo que a reta t passa pelo ponto (−2, −18), a área do triângulo PQR é

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Gabarito

Certo

Comentário do professor

Da reta s temos \(Q(x,-4-3x)\). Da reta r, com abscissa 3 a mais, vem \(R(x+3,\tfrac{9-x}{2})\).

Como \(Q,R\) e \((-2,-18)\) são colineares igualamos declives: \(\dfrac{\tfrac{9-x}{2}-(-4-3x)}{3}=\dfrac{-18-(-4-3x)}{-2-x}\).

Essa igualdade reduz a \(x^2+9x-10=0\), com raízes \(x=1\) ou \(x=-10\). Para \(R\) no 1º quadrante escolhemos \(x=1\), obtendo \(Q(1,-7)\) e \(R(4,4)\).

Área do triângulo \(P(-4,8),Q,R\) pela fórmula do determinante: \(A=\tfrac{1}{2}\left|\begin{vmatrix}1&-7&1\\4&4&1\\-4&8&1\end{vmatrix}\right|=\tfrac{|100|}{2}=50\).

Resposta: 50.

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