Considere a sequência numérica \(a_0, a_1,...\) em que \(a_0=1, a_1=2\) e \(a_{n+1}= {\large a_n \over a_{n-1}}, n \ge 1\). O termo \(a_{2019}\) é:

Gabarito

A

Comentário do professor

Temos a regra \(a_{n+1}=\dfrac{a_n}{a_{n-1}}\) com \(a_0=1\) e \(a_1=2\). Calculando os primeiros termos: \(a_2=\dfrac{2}{1}=2\), \(a_3=\dfrac{2}{2}=1\), \(a_4=\dfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}\), \(a_5=\dfrac{\tfrac{1}{2}}{1}=\tfrac{1}{2}\), \(a_6=\dfrac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{2}}=1\).

Observando, os valores retornam a \(a_0\) e \(a_1\) a partir de \(a_6\), portanto a sequência é periódica de período 6. Ou seja, \(a_{n+6}=a_n\) para todo \(n\).

Para identificar \(a_{2019}\) basta calcular o resto da divisão de 2019 por 6: \(2019\mod 6=3\). Assim \(a_{2019}=a_3\).

Como já obtivemos \(a_3=1\), segue que \(a_{2019}=1\). Resultado: 1.