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Questão FC572555

No plano, os pontos E, F e G estão sobre os lados de um retângulo ABCD, tais que o segmento EF é perpendicular ao lado AB e o segmento BG intersecta o segmento EF no ponto H, confo

Geometria Plana

FCC · 2025

No plano, os pontos E, F e G estão sobre os lados de um retângulo ABCD, tais que o segmento EF é perpendicular ao lado AB e o segmento BG intersecta o segmento EF no ponto H, conforme mostra a figura.

 

 

Sendo que o segmento DG mede 1 cm a mais do que o segmento CE, que e área do trapézio BCEH é 15 cm2 e que tg \(\alpha \, = \, \dfrac {2} {3},\) a área do pentágono ADGHF é

  1. \(32 \,\, cm^2\)
  2. \(48 \,\, cm^2\)
  3. \(36 \,\, cm^2\)
  4. \(42 \,\, cm^2\)
  5. \(40 \,\, cm^2\)
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Gabarito

B

Comentário do professor

Seja z=CE, x=BH e y=EH; a altura do retângulo é \(BC=6\) cm (figura).

No triângulo BCG temos \(\tan\alpha=\dfrac{6}{z+x}=\dfrac{2}{3}\), logo \(z+x=9\) e \(x=9-z\).

No triângulo EGH \(\tan\alpha=\dfrac{y}{z}=\dfrac{2}{3}\), logo \(y=\dfrac{2z}{3}\).

Área do trapézio \(BCEH\): \(\dfrac{(6+y)\,x}{2}=15\). Substituindo \(x=9-z\) e \(y=\dfrac{2z}{3}\) obtém-se \(z=6\). Então \(x=3\) e \(y=4\).

Área do pentágono ADGHF = área do retângulo − área do triângulo BCG − área do triângulo BFH: \( (x+y+z)\cdot6 - \dfrac{(z+x)\cdot6}{2} - \dfrac{x\cdot(6-y)}{2}\) \(=13\cdot6 - 27 - 3 = 48\;cm^2\).

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