Questão FC83755
Para a análise de quatro projetos relacionados a distribuição de recursos financeiros, foram criados quatro grupos de trabalho denominados G1, G2, G3 e G4, compostos por especialis
Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
CEBRASPE (CESPE) · 2023
Acerca dessa situação hipotética, julgue o item que se segue.
O número de maneiras diferentes de se formarem os grupos G3 e G4 somente com mulheres é superior a (2 x 3 x 7 x 11)2.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Para resolver a questão, é necessário entender como formar os grupos G3 e G4 somente com mulheres. Temos, ao todo, 14 mulheres disponíveis.
Para montar o grupo G3, devemos escolher 5 mulheres entre as 14 disponíveis. O número de combinações possíveis é dado pela fórmula de combinação, que é expressa como:
\(C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)
Onde \(n\) é o total de elementos (neste caso, 14 mulheres) e \(k\) é o número de elementos que queremos escolher (5, neste caso).Aplicando essa fórmula, temos:
\(C(14, 5) = \frac{14!}{5!(14-5)!} = \frac{14!}{5!9!}\)
Calculando, obtemos:
\(C(14, 5) = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 2.002 \text{ maneiras}\)
Para formar o grupo G4, agora temos apenas 9 mulheres restantes (pois 5 já foram escolhidas para G3). Precisamos escolher 5 dessas 9 mulheres, ou seja, repetimos o procedimento:
\(C(9, 5) = \frac{9!}{5!(9-5)!} = \frac{9!}{5!4!}\)
Calculando,
\(C(9, 5) = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1.260 \text{ maneiras}\)
O número total de maneiras de formar os grupos G3 e G4 somente com mulheres é a multiplicação dos dois resultados:
\(Total = C(14, 5) \times C(9, 5) = 2.002 \times 1.260 = 2.522.520 \text{ maneiras}\)
Agora, precisamos comparar este número total com \( (2 \times 3 \times 7 \times 11)^2 \), que resulta em:
\((2 \times 3 \times 7 \times 11)^2 = (462)^2 = 213.444\)
Portanto, confirmamos que:
\(2.522.520 > 213.444\)
Assim, a afirmação original é CERTA.
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