Questão FC83784
Acerca dos números reais e das suas propriedades, julgue o item subsequente. O número é um número irracional.
Logaritmo
CEBRASPE (CESPE) · 2023
O número
é um número irracional.Mostrar resposta e comentário
Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: A afirmação de que o número \( (5 - \sqrt{5}) \log_5 \sqrt{4} \) é um número irracional está ERRADA.
Para entender isso, vamos analisar a expressão.
Sabemos que a propriedade dos logaritmos nos diz que:
Se \( b^x = a \), então \( x = \log_b a \).
Aplicando essa propriedade ao caso em questão:
\( \log_5 \sqrt{4} \) pode ser simplificado. Como \( \sqrt{4} = 2 \), temos:
\( \log_5 \sqrt{4} = \log_5 2 \).
Agora, utilizando a mudança de base do logaritmo, temos:
\( \log_5 2 = \frac{\log 2}{\log 5} \), que é uma expressão numérica.
Logo, voltando à expressão original, precisamos substituir isso novamente:
\( (5 - \sqrt{5}) \log_5 \sqrt{4} = (5 - \sqrt{5}) \times \frac{\log 2}{\log 5}. \)
Sabemos que \( 5 \) e \( \sqrt{5} \) são números racionais, e \( (5 - \sqrt{5}) \) permanece racional.
Portanto, a multiplicação de um número racional por um resultado proveniente de um logaritmo que também resulta em número racional (já que \( \frac{\log 2}{\log 5} \) é uma fração que pode ser calculada e tem um valor numérico) levará a um resultado racional.
Assim, o número \( (5 - \sqrt{5}) \log_5 \sqrt{4} \) é, na verdade, um número racional, não irracional. Portanto, a expressão inicial apresentada na questão está equivocada.
Conteúdo do catálogo FC Concursos · Atualizado em