Questão FC83822
Com respeito à função na qual ai ∈ R x ∈ R , julgue os próximos itens. Definindo-se os vetores , ambos de dimensões n X 1, a função S(x) pode ser escrita na forma de um produto vet
Matrizes
CEBRASPE (CESPE) · 2023
na qual ai ∈ R x ∈ R , julgue os próximos itens.
Definindo-se os vetores
, ambos de dimensões n X 1, a função S(x) pode ser escrita na forma de um produto vetorial como 
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário:
O gabarito está ERRADO por algumas razões fundamentais. Primeiro, o conceito de produto vetorial é limitado a vetores em três dimensões. Na situação apresentada, os vetores são definidos em um espaço de dimensão n. Portanto, realizar um produto vetorial entre dois vetores de dimensões diferentes sem um contexto apropriado é um erro. Para exemplificar, o produto vetorial \( \mathbf{u} \times \mathbf{v} \) é específico para R³ e não pode ser generalizado para Rⁿ onde n pode assumir qualquer valor maior ou menor que 3.
Além disso, ao tentar escrever a função \( S(x) \) em termos de um produto vetorial, é necessário considerar que uma operação semelhante ao produto interno de vetores é mais apropriada para a situação. Para que o produto interno \( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \) seja viável, um vetor deve ser transposto, ou seja, se \( \mathbf{u} = (a_1 - x, a_2 - x, \ldots, a_n - x) \), a transposição \( \mathbf{u}^T \) deve ser realizada para adaptar a forma \( n \times 1 \) e \( 1 \times n \) dos vetores.
Por exemplo, se quisermos calcular algo semelhante, poderíamos usar a operação do tipo:
\( S(x) = \mathbf{u}^T \cdot \mathbf{u} \) onde isto se traduz em:
\( S(x) = (a_1 - x)^2 + (a_2 - x)^2 + \ldots + (a_n - x)^2 \).
Isso confirma que o verdadeiro resultado exige o uso da soma dos quadrados das diferenças, não um produto vetorial.
Por todos esses motivos, conclui-se que a afirmação dada é incorreta.
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