Questão FC83829
Considerando o número complexo z = √3+i em que i representa a unidade imaginária que satisfaz a condição i2 = -1 julgue o item subsequente. A parte real do número 1/z é igual a √3/
Números Complexos
CEBRASPE (CESPE) · 2024
A parte real do número 1/z é igual a √3/3.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: O item está ERRADO porque a parte real do número \(\frac{1}{z}\) não é igual a \(\frac{\sqrt{3}}{3}\), conforme afirmado.
Para entender por que isso ocorre, vamos primeiro revisar o número complexo dado: z = \sqrt{3} + i.
Precisamos calcular \(\frac{1}{z}\) usando a técnica de multiplicar pelo conjugado do denominador.
O conjugado de \(z\) é \(\sqrt{3} - i\).
Desse modo, podemos expressar \(\frac{1}{z}\) da seguinte maneira:
\[\frac{1}{z} = \frac{1}{\sqrt{3} + i} \cdot \frac{\sqrt{3} - i}{\sqrt{3} - i} = \frac{\sqrt{3} - i}{(\sqrt{3} + i)(\sqrt{3} - i)}\]
No denominador, aplicamos a identidade de produto notável, que resulta em:
\[(\sqrt{3})^2 - i^2 = 3 - (-1) = 4\] Portanto, simplificando nossa expressão, temos:
\[\frac{1}{z} = \frac{\sqrt{3} - i}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{4}i\]
Ao separar a parte real e a parte imaginária, notamos que a parte real de \(\frac{1}{z}\) é \(\frac{\sqrt{3}}{4}\), e não \(\frac{\sqrt{3}}{3}\), como afirmado na questão.
Portanto, a afirmação inicial é incorreta.
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