Questão FC83830
Considerando o número complexo z = √3+i em que i representa a unidade imaginária que satisfaz a condição i2 = -1 julgue o item subsequente. O número z satisfaz a relação z6 = −64 .
Números Complexos
CEBRASPE (CESPE) · 2024
O número z satisfaz a relação z6 = −64 .
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Para verificar se o número complexo z = \sqrt{3} + i satisfaz a relação z6 = -64, precisamos trabalhar com a forma polar ou exponencial do número complexo. Vamos aos passos necessários:
Primeiramente, calculamos o módulo r de z, que é dado por:
\( r = |z| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2. \)
Agora, precisamos determinar o argumento \(\theta\) de z. Para isso, utilizamos a relação da tangente:
\( \tan(\theta) = \frac{\text{Im}(z)}{\text{Re}(z)} = \frac{1}{\sqrt{3}}. \)
Isso nos leva a encontrar que \(\theta\) é igual a \(\frac{\pi}{6}\) ou 30^\circ, pois o arco cuja tangente é \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) é precisamente este. Assim, a representação polar de z é:
\( z = 2\left(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right) = 2e^{i\frac{\pi}{6}}. \)
Agora que temos a forma polar, vamos calcular z6:
\( z^6 = \left(2e^{i\frac{\pi}{6}}\right)^6 = 2^6 e^{i\frac{6\pi}{6}} = 64 e^{i\pi}. \)
Sabemos que e^{i\pi} = -1, portanto:
\( z^6 = 64 \cdot (-1) = -64. \)
Assim, confirmamos que a relação z6 = -64 é verdadeira. Portanto, o item está CERTO.
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