Questão FC83852
Com relação a tópicos de matemática, julgue o item a seguir. Uma circunferência de raio 2 com centro no ponto (2,0) encontra a elipse em dois pontos cuja abscissa é
Geometria Analítica
CEBRASPE (CESPE) · 2023
Uma circunferência de raio 2 com centro no ponto (2,0) encontra a elipse
em dois pontos cuja abscissa é 
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: O item apresentado é ERRADO por várias razões que podemos demonstrar de forma clara.
A circunferência em questão possui raio 2 e centro no ponto (2,0), cuja equação é dada por:
\(< (x - 2)^2 + y^2 = 4 >\).
Em contrapartida, a elipse mencionada pode ser expressa na forma padrão:
\(< \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{1} = 1 >\).
Para encontrar os pontos de interseção entre esta circunferência e a elipse, precisamos igualar as duas equações. Para isso, isolamos \(y^2\) na equação da circunferência:
\(y^2 = 4 - (x - 2)^2\).
Agora, substituindo \(y^2\) na equação da elipse, temos:
\(\frac{x^2}{4} + \frac{4 - (x - 2)^2}{1} = 1\).
Desenvolvendo essa expressão:
\(\frac{x^2}{4} + 4 - (x^2 - 4x + 4) = 1\).
Isso resulta em:
\(\frac{x^2}{4} + 4 - x^2 + 4x - 4 = 1\), que se simplifica a:
\(-\frac{3x^2}{4} + 4x - 1 = 0\).
Multiplicando toda a equação por -4 para evitar frações, obtemos:
\(3x^2 - 16x + 4 = 0\).
Agora, utilizando a fórmula de Bháskara para resolver essa equação:
\(\Delta = b^2 - 4ac\)
onde \(a = 3\), \(b = -16\) e \(c = 4\):
\(\Delta = (-16)^2 - 4 \times 3 \times 4 = 256 - 48 = 208\).
Portanto, \(x\) é dado por:
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{16 \pm \sqrt{208}}{6}\).
O valor \(\sqrt{208}\) pode ser simplificado, mas o importante é notar que isso resultará em duas soluções para \(x\), além de não coincidir com a abscissa \(x_0\) apresentada no item.
Portanto, a afirmação de que a circunferência encontra a elipse em dois pontos cuja abscissa é \(x_0 = 16 - 4\sqrt{13 - \sqrt{3}}\) está INCORRETA, pois as interseções ocorrem em pontos diferentes.
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