Questão FC83855
O modelo matemático a seguir revela o número F de usuários conectados a um provedor de Internet, a cada instante t, em horas, por um período de 24 horas. Nesse modelo, t ∈ [0, 24)
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CEBRASPE (CESPE) · 2024
t ∈ [0, 24) e F(t) e é dado em milhares.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Para determinar se houve uma mudança na concavidade do gráfico da função \( F(t) \) no instante \( t = 12 \) h, precisamos analisar a segunda derivada da função. A mudança de concavidade ocorre nos pontos de inflexão, onde a segunda derivada é igual a zero.
Vamos progredir com os cálculos das derivadas. Sabemos que a função \( F(t) \) é dada como:
\( F(t) = -\frac{1}{50} \left( \frac{t^3}{3} - 12t^2 + 63t \right) + 22 \)
Primeiro, calculamos a primeira derivada \( F'(t) \):
\( F'(t) = -\frac{1}{50} (t^2 - 24t + 63) \)
Em seguida, vamos calcular a segunda derivada \( F''(t) \):
\( F''(t) = -\frac{1}{50} (2t - 24) \)
Agora, para encontrar os pontos de inflexão, igualamos a segunda derivada a zero:
\( 2t - 24 = 0 \)
Resolvendo essa equação, temos:
\( 2t = 24 \)
\( t = 12 \)
Assim, no instante \( t = 12 \) h, temos uma mudança na concavidade, confirmando que o gabarito está CERTO. Isso indica que o gráfico da função \( F(t) \) muda sua maneira de curvar, passando de côncavo para convexo ou vice-versa.
Portanto, a saída correta é que houve, de fato, uma mudança na concavidade do gráfico de \( F(t) \) no instante \( t = 12 \) h.
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