O modelo matemático a seguir revela o número F de usuários conectados a um provedor de Internet, a cada instante t, em horas, por um período de 24 horas. Nesse modelo, t ∈ [0, 24)

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Comentário: A afirmativa está ERRADA.

Para determinar o menor número de usuários conectados ao provedor durante as 24 horas, precisamos encontrar o valor mínimo da função \( F(t) \). Esse valor ocorre quando a primeira derivada \( F'(t) \) é igual a zero, ou seja, nos pontos críticos da função.

Vamos calcular a derivada da função dada e igualá-la a zero:

Seja:

\( F(t) = -\frac{1}{50}\left(\frac{t^3}{3} - 12t^2 + 63t\right) + 22 \)

Então a derivada é:

\( F'(t) = -\frac{1}{50}\left(t^2 - 24t + 63\right) \)

Agora, igualamos a derivada a zero:

\( t^2 - 24t + 63 = 0 \)

Aplicando a fórmula de Bháskara para encontrar os valores de \( t \):

\( \Delta = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 63 = 576 - 252 = 324 \)

Assim, temos:

\( t = \frac{24 \pm \sqrt{324}}{2} = \frac{24 \pm 18}{2} \)

As soluções são:

\( t_1 = \frac{42}{2} = 21 \quad \text{e} \quad t_2 = \frac{6}{2} = 3 \)

Agora, vamos analisar se esses pontos críticos estão no intervalo entre 4h e 5h. Nenhum dos valores \( t = 3 \) ou \( t = 21 \) se encontra nesse intervalo. Portanto, isso indica que não podemos afirmar que o menor número de usuários ocorreu entre 4h e 5h.

Para confirmar que \( t = 3 \) representa um mínimo e \( t = 21 \) um máximo, podemos calcular a derivada segunda:

\( F''(t) = -\frac{1}{50}(2t - 24) \)

Ao avaliar a derivada segunda nos pontos críticos:

Para \( t = 3 \):

\( F''(3) = -\frac{1}{50}(2 \cdot 3 - 24) = -\frac{1}{50}(-18) > 0 \) (mínimo)

Para \( t = 21 \):

\( F''(21) = -\frac{1}{50}(2 \cdot 21 - 24) = -\frac{1}{50}(18) < 0 \) (máximo)

Assim, fica claro que o menor número de usuários conectados ocorre para \( t = 3 \) horas, e não entre 4h e 5h. Portanto, a afirmativa original está incorreta.