Determinado equipamento está alocado em uma sala cuja temperatura ambiente é 20 ℃. A temperatura desse equipamento, em graus Celsius, é indicada pela função θ(t) , para o instante

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Comentário: Vamos analisar a situação apresentada na questão e como chegamos à conclusão de que a temperatura do equipamento será inferior a 26 ºC no instante t = 20 minutos.

A equação diferencial fornecida é:

\( \frac{d\theta}{dt} = k[\theta(t) - 20] \)

Essa equação é uma equação diferencial separável, o que significa que podemos isolar as variáveis e integrar ambos os lados. Vamos reunir as variáveis:

\( \frac{d\theta}{\theta(t) - 20} = k \, dt \)

Agora, integrando ambos os lados, obtemos:

\( \int \frac{d\theta}{\theta(t) - 20} = \int k \, dt \)

Isso resulta em:

\( \ln|\theta(t) - 20| = kt + C \)

Removendo o valor absoluto, temos:

\( \theta(t) - 20 = Ce^{kt} \)

Logo, podemos escrever a solução da equação diferencial como:

\( \theta(t) = Ce^{kt} + 20 \)

Para determinar as constantes C e k, usamos as condições iniciais fornecidas: \( \theta(0) = 40 \) e \( \theta(10) = 30 \). Primeiramente, substituindo t = 0:

\( 40 = C \cdot e^{0} + 20 \implies C = 20 \)

Assim, a função de temperatura torna-se:

\( \theta(t) = 20e^{kt} + 20 \)

Agora, usando a condição \( \theta(10) = 30 \):

\( 30 = 20e^{10k} + 20 \implies 20e^{10k} = 10 \implies e^{10k} = 0.5 \)

A partir disso, podemos deduzir que:

\( 10k = \ln(0.5) \implies k = \frac{\ln(0.5)}{10} \)

Substituindo k de volta à função, temos:

\( \theta(t) = 20e^{t \frac{\ln(0.5)}{10}} + 20 \)

Agora, vamos calcular a temperatura no instante t = 20:

\( \theta(20) = 20e^{20 \cdot \frac{\ln(0.5)}{10}} + 20 = 20 e^{2 \ln(0.5)} + 20 = 20(0.5^2) + 20 = 20 \cdot 0.25 + 20 = 5 + 20 = 25 ºC \)

Portanto, a temperatura do equipamento no instante t = 20 minutos é 25 ºC, que é inferior a 26 ºC, confirmando que a afirmação é CERTA.