Questão FC83862
Uma empresa de telecomunicação oferece dois produtos, alfa e delta, para utilização online, por meio da venda de horas de acesso ao consumidor. O lucro L obtido com a venda de x ho
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CEBRASPE (CESPE) · 2024
A partir dessas informações, julgue o item, de acordo com o modelo apresentado.
A matriz hessiana (matriz das derivadas parciais de segunda ordem) associada à função L (x, y) tem determinante igual a
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: O gabarito da questão está ERRADO. Isso pode ser explicado ao analisarmos a estrutura da função de lucro L(x, y) apresentada.
A função dada é um polinômio de segundo grau e, ao calcular as derivadas parciais de segunda ordem, encontramos que todas elas serão constantes, não dependendo das variáveis x e y.
Vamos considerar a função:
\( L(x,y) = 1.600x + 2.000y - \frac{xy}{2} - \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{2} \)
As derivadas parciais de segunda ordem são:
\( \frac{\partial^2 L}{\partial x^2} = -\frac{1}{2} \)
\( \frac{\partial^2 L}{\partial y^2} = -1 \)
\( \frac{\partial^2 L}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 L}{\partial y \partial x} = -\frac{1}{2} \)
Portanto, a matriz Hessiana pode ser representada como:
\( H_L = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & -1 \end{pmatrix} \)
O determinante da matriz Hessiana é calculado da seguinte forma:
\( |H_L| = \left(-\frac{1}{2}\right)(-1) - \left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \)
Isso significa que o determinante é igual a \(\frac{1}{4}\), e não a -\frac{xy}{4}, como afirmado na pergunta. Assim, a afirmação sobre o determinante está incorreta, validando que o gabarito está ERRADO.
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