Questão FC83865
Considerando a função real na forma g(x) = xe−x , na qual x ∈ R, julgue os itens subsequentes. ∫0+∞g(x)dx > 2.
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CEBRASPE (CESPE) · 2023
∫0+∞g(x)dx > 2.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: Vamos analisar a integral dada na questão:
A função em questão é g(x) = xe^{-x}. Queremos calcular a integral:
\[\int_{0}^{+\infty} g(x) dx = \int_{0}^{+\infty} xe^{-x} dx.\] Essa integral pode ser resolvida utilizando o método de integração por partes, onde fazemos:
\( u = x \) e \( dv = e^{-x}dx \).
Então, temos:
\( du = dx \) e \( v = -e^{-x} \).
Substituindo na fórmula de integração por partes \( \int u \, dv = uv - \int v \, du \), obtemos:
\[\int xe^{-x} dx = -xe^{-x} \biggr|_{0}^{+\infty} + \int e^{-x} dx.\]
Agora avaliamos cada parte:
1. **Limite do primeiro termo**:
Evaluamos \( -xe^{-x} \) quando \( x \) tende a \( +\infty \):
\[\lim_{m \to +\infty} -me^{-m} = \lim_{m \to +\infty} -\frac{m}{e^m}.\] Esse limite é uma indeterminação do tipo \( \frac{\infty}{\infty} \), e podemos aplicar a regra de l'Hôpital, derivando o numerador e o denominador:
\[\lim_{m \to +\infty} -\frac{1}{e^m} = 0.\]
Então, temos que: \( -xe^{-x} \biggr|_{0}^{+\infty} = 0 - (-0) = 0 \).
2. **Integrais de \( e^{-x} \)**:
Calculando a integral \( \int e^{-x} dx \) de \( 0 \) a \( +\infty \) temos:
\[\int_{0}^{+\infty} e^{-x} dx = 1.\]
Assim, voltando ao resultado da integração por partes:
\[\int_{0}^{+\infty} xe^{-x} dx = 0 + 1 = 1.\]
Portanto, a integral \(\int_{0}^{+\infty} xe^{-x} dx\) é igual a \( 1 \), que é menor que 2.
Concluindo, a afirmação de que \(\int_{0}^{+\infty} g(x) dx > 2\) está ERRADA.
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