Questão FC83866
Considerando a função real na forma g(x) = xe−x, na qual x ∈ R, julgue os itens subsequentes. limx →+∞ g(x) = 0.
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CEBRASPE (CESPE) · 2023
limx →+∞ g(x) = 0.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Vamos analisar o limite da função \( g(x) = x e^{-x} \) quando \( x \) tende a \( +\infty \).
Para isso, podemos reescrever o termo \( e^{-x} \) como \( \frac{1}{e^x} \), resultando em:
\( g(x) = x \cdot \frac{1}{e^x} = \frac{x}{e^x} \).
Agora, precisamos calcular o limite:
\( \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^x} \).
Ao fazermos isso, observamos que, à medida que \( x \) aumenta, tanto o numerador quanto o denominador tendem a \( +\infty \). Portanto, encontramos uma indeterminação do tipo \( \frac{\infty}{\infty} \).
Nesses casos, podemos aplicar a Regra de l'Hôpital, que nos diz que podemos derivar o numerador e o denominador separadamente:
- A derivada de \( x \) é \( 1 \).
- A derivada de \( e^x \) é \( e^x \).
Assim, temos:
\( \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{e^x} \).
Agora, é mais fácil calcular esse limite:
\( \frac{1}{e^x} \) tende a \( 0 \) conforme \( x \) cresce, pois \( e^x \) cresce muito mais rápido do que \( 1 \).
Portanto, obtivemos:
\( \lim_{x \to +\infty} g(x) = 0 \).
Assim, o item está CERTO, pois confirmamos que a função \( g(x) \) se aproxima de \( 0 \) quando \( x \) tende a \( +\infty \).
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