Questão FC83867
Considerando a função real na forma, na qual g(x) = x e−x, na qual x ∈ R, julgue os itens subsequentes.
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CEBRASPE (CESPE) · 2023
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Para analisarmos a derivada da função g(x) = x e^{-x} no ponto x = 0, começamos aplicando a regra do produto, que nos diz que para funções u e v, a derivada é dada por:
\( (uv)' = u'v + uv' \).
Neste caso, temos:
- u = x e v = e^{-x}.
Derivando as funções, encontramos:
- u' = 1
- v' = -e^{-x}
Assim, calculamos a derivada da função g:
\( g'(x) = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) \).
Simplificando, obtemos:
\( g'(x) = e^{-x}(1 - x) \).
Agora, para encontrar a derivada em x = 0, substituímos:
\( g'(0) = e^{0}(1 - 0) = 1 \).
Em seguida, calculamos g(0):
\( g(0) = 0 \cdot e^{0} = 0 \).
Agora, aplicando a relação mencionada:
\( \frac{dg(x)}{dx}\bigg|_{x=0} = g(0) + 1 = 0 + 1 = 1 \).
Assim, a afirmação está correta, confirmando que a derivada da função em x = 0 é realmente 1.
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