Considerando a função real na forma, na qual g(x) = x e−x, na qual x ∈ R, julgue os itens subsequentes. Para todo x ∈ R,

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Comentário: A questão apresenta a função g(x) = x e^{-x} e sugere que a segunda derivada é negativa para todo x ∈ R, o que está ERRADO. Vamos esclarecer o porquê disso.

Para entender se a segunda derivada é negativa em todo o domínio real, precisamos primeiro encontrar g'(x), a primeira derivada de g(x). Usamos a regra do produto:

g'(x) = u'v + uv', onde u = x e v = e^{-x}.

Calculando, temos:

• Derivada de u: u' = 1.
• Derivada de v: v' = -e^{-x}.

Portanto:

\( g'(x) = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) = e^{-x}(1 - x) \)

Agora, vamos encontrar a segunda derivada g''(x):

\( g''(x) = \frac{d}{dx}(g'(x)) \)

Aplicando novamente a regra do produto, vamos derivar:

• Derivada de e^{-x}: -e^{-x}
• Derivada de (1 - x): -1

Assim:

\( g''(x) = -e^{-x}(1 - x) + e^{-x}(-1) \)

\( g''(x) = -e^{-x}(1 - x) - e^{-x} = -e^{-x}(x) \)

Observamos que e^{-x} é sempre positivo, então a expressão -e^{-x}(x) só será negativa quando x for positivo. Isso implica que:

• Quando x < 0, g''(x) > 0.
• Quando x = 0, g''(x) = 0.
• Quando x > 0, g''(x) < 0.

Dessa forma, podemos concluir que a segunda derivada g''(x) não é negativa para todo x ∈ R, mas somente para x > 0. Assim, a afirmação da questão é falsa.