Questão FC83869
Com respeito à função na qual ai ∈ R x ∈ R, julgue os próximos itens. O valor mínimo global da função é S (x) é S (b) , em que
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CEBRASPE (CESPE) · 2023
na qual ai ∈ R x ∈ R, julgue os próximos itens.
O valor mínimo global da função é S (x) é S (b) , em que
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: A assertiva está CERTA. A função S(x) refere-se à soma dos desvios quadrados, e, para encontrar o valor mínimo global dessa função, devemos identificar a média ponderada das observações.
Para entender isso, consideramos a função S(x) que pode ser expressa como:
\[S(x) = \sum_{i=1}^{n} (a_i - x)^2 = \sum_{i=1}^{n} a_i^2 - 2x\sum_{i=1}^{n} a_i + nx^2\]
Após expandirmos o somatório, a função pode ser reescrita. O próximo passo é derivar a função S(x) em relação a x e igualar a zero para encontrar os pontos críticos:
\[S'(x) = -2\sum_{i=1}^{n} a_i + 2nx = 0\]
Rearranjando a equação, temos:
\[nx = \sum_{i=1}^{n} a_i \implies x = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} a_i\]
Esse resultado indica que o valor de x que minimiza a função é a média aritmética dos valores a_i.
Além disso, como a função S(x) é uma parábola com concavidade voltada para cima (já que o coeficiente de \(x^2\) é positivo), sabemos que este ponto representa o mínimo global da função.
Portanto, podemos afirmar que o valor mínimo global de S(x) ocorre em S(b), onde b é a média das observações. Assim, a assertiva está correta.
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