A altura e a forma de determinada colina, em coordenadas cartesianas xOy, são dadas pelo gráfico da função H(x, y) = -2x2 – 3y2 + 100, com as coordenadas x,y expressas em metros, d

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Comentário: Para entender por que a assertiva está CERTA, precisamos analisar a função que descreve a altura da colina e a direção do caminho dado em função do tempo. Vamos seguir alguns passos.

Primeiramente, consideramos a função que define a altura da colina, dada por H(x, y) = -2x² - 3y² + 100. O objetivo é identificar se, ao longo do caminho definido por c(t) = (x(t), y(t)) = (1−2t, 1+sen(t)), há uma subida no terreno em um intervalo de tempo específico.

Para fazer isso, calculamos o gradiente da função H, que é um vetor formado pelas derivadas parciais em relação a x e y:

\( \nabla H(x,y) = \left(\frac{\partial H}{\partial x}, \frac{\partial H}{\partial y}\right) = (-4x, -6y) \)

Assim, o gradiente da altura nos indica a direção do crescimento máximo da função.

Em seguida, calculamos o ponto específico em que queremos analisar a subida, que é dado por t = 0:

Substituindo t = 0 em c(t), encontramos:

\( c(0) = (1−2(0), 1+sen(0)) = (1, 1) \)

Agora, avaliamos o gradiente nesse ponto:

\( \nabla H(1, 1) = (-4 \cdot 1, -6 \cdot 1) = (-4, -6) \)

Isso nos dá a direção do aumento da função H na colina.

O próximo passo é encontrar a derivada do vetor c(t), que indicará a direção do caminho no plano:

\( \frac{dc(t)}{dt} = \left(-2, \cos(t)\right) \)

Avaliando em t = 0:

\( \frac{dc(t)}{dt}\bigg|_{t=0} = (-2, \cos(0)) = (-2, 1) \)

Agora, calculamos o produto escalar entre os vetores do gradiente e da derivada:

\( \nabla H(1, 1) \cdot \frac{dc(t)}{dt} = (-4, -6) \cdot (-2, 1) = (-4)(-2) + (-6)(1) = 8 - 6 = 2 \)

Como o resultado do produto escalar é positivo (\(2 > 0\)), isso indica que, na direção do vetor do caminho, há uma subida na colina.

Deste modo, podemos concluir que a assertiva está CERTA, pois a função está crescendo ao longo do caminho dado por c(t) em t = 0.