Julgue o próximo item, considerando a equação diferencial Ay′′+By′(t)+C(y) = 0, em que A, B e C são números reais, com A não nulo. Se Y1(t) = 1 é solução da referida equação difere

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Comentário: A afirmação está ERRADA devido a uma análise incorreta da solução da equação diferencial dada. Vamos esclarecer o porquê.

Considerando a equação diferencial:

\( Ay'' + By' + C(y) = 0 \)

e sabendo que uma solução particular é \( Y_1(t) = 1 \), ao calcular as derivadas, obtemos:

\( Y_1'(t) = 0 \) e \( Y_1''(t) = 0 \).

Substituindo essas derivadas na equação, temos:

\( A \cdot 0 + B \cdot 0 + C = 0 \Rightarrow C = 0 \).

Portanto, a equação se reduz a:

\( A y'' + B y' = 0 \).

A equação auxiliar associada é:

\( A r^2 + B r = 0 \).

Fatorando, encontramos:

\( r(A r + B) = 0 \Rightarrow \{ r = 0, r = -\frac{B}{A} \} \).

Com essas raízes, a solução geral da equação diferencial é:

\( y(t) = c_1 + c_2 e^{-\frac{B}{A} t}. \)

A primeira condição inicial fornecida é:

\( y(0) = 0 \Rightarrow 0 = c_1 + c_2 \Rightarrow c_1 = -c_2. \)

A segunda condição inicial é:

\( y'(0) = 1 \). Calculando \( y' \):

\( y'(t) = -\frac{B}{A} c_2 e^{-\frac{B}{A} t}. \)

Substituindo \( t = 0 \):

\( 1 = -\frac{B}{A} c_2 \Rightarrow c_2 = -\frac{A}{B}. \)

Substituindo \( c_1 \) e \( c_2 \) na solução, obtemos:

\( y(t) = \frac{A}{B} - \frac{A}{B} e^{-\frac{B}{A} t} = \frac{A}{B} (1 - e^{-\frac{B}{A} t}). \)

Essa solução, ao analisarmos para \( t > 0 \), não é limitada, pois conforme \( t \) aumenta, \( e^{-\frac{B}{A} t} \) tende a 0, fazendo com que \( y(t) \) se aproxime de \( \frac{A}{B} \), mas não fique restrita a um valor fixo.

Assim, a conclusão é que exatamente por \( A \) e \( B \) serem de sinais contrários, a solução da equação diferencial apresentada realmente não é limitada no intervalo \( t > 0 \), confirmando que a afirmativa inicial é ERRADA.