Questão FC83876
Julgue o próximo item, considerando a equação diferencial Ay′′+By′(t)+C(y) = 0, em que A, B e C são números reais, com A não nulo. Se y1(t) = cos(kt) e y2(t) = sen(kt), em que k é
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CEBRASPE (CESPE) · 2023
Se y1(t) = cos(kt) e y2(t) = sen(kt), em que k é uma constante real não nula, são soluções da referida equação diferencial, então qualquer outra solução dessa equação deve ser uma combinação linear de y1(t) e y2(t).
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: A questão está CERTA devido a propriedades fundamentais das equações diferenciais lineares de segunda ordem.
Quando temos a equação diferencial na forma:
\[Ay'' + By' + C(y) = 0\]podemos analisar suas soluções a partir da equação característica
,\[Ar^2 + Br + C = 0.\] Ao considerarmos \( y_1(t) = \cos(kt) \) e \( y_2(t) = \sin(kt) \) como soluções, isso implica que as raízes da equação característica são complexas e têm a forma \( r = \pm ik \).
Em se tratando de equações diferenciais, quando as raízes são complexas, a solução geral da equação diferencial é expressa como uma combinação linear das funções seno e cosseno associadas às raízes. Portanto, temos que a solução geral é dada por:
\[y(t) = c_1 \cos(kt) + c_2 \sin(kt)\]onde \( c_1 \) e \( c_2 \) são constantes reais que dependem das condições iniciais ou de contorno do problema.
Assim, qualquer outra solução da equação deve ser uma combinação linear de \( y_1(t) \) e \( y_2(t) \), o que confirma a afirmação da questão.
Esse é um resultado clássico na teoria de equações diferenciais lineares, conhecido como o princípio da superposição, que garante que combinações lineares de soluções são também soluções.
Portanto, concluímos que a afirmação é verdadeira e justificada.
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