Julgue o item que se segue, relativo à transformação linear T : R3 → R3 dada por T(x, y, z) = (x+y, x–z, z–y). O núcleo da transformação linear T é igual ao subespaço nulo V = {(0,

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Para verificar o núcleo de \(T\) resolvemos \(T(x,y,z)=(x+y,\;x-z,\;z-y)=(0,0,0)\). Isso gera o sistema

\(x+y=0,\; x-z=0,\; z-y=0\).

Da segunda equação vem \(z=x\), da terceira \(y=z\), portanto \(y=x\). Substituindo na primeira obtemos \(x+x=0\), isto é \(2x=0\), logo \(x=0\). Assim \(y=0\) e \(z=0\).

Conclui-se que o único vetor que é levado ao vetor nulo é \((0,0,0)\), portanto o **núcleo** de \(T\) é \(\{(0,0,0)\}\). Como consequência, \(T\) é **injetiva** e, por ser transformação linear entre espaços de mesma dimensão finita, também é **invertível**.