Questão FC83880
Com base nas transformadas de Laplace, julgue o próximo item. Considere-se o problema de valor inicial a seguir, em que x(t) é uma entrada do sistema. Nesse problema, a função de t
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CEBRASPE (CESPE) · 2023
Considere-se o problema de valor inicial a seguir, em que x(t) é uma entrada do sistema.
Nesse problema, a função de transferência é igual a
, em que X(s) e Y(s) denotam, respectivamente, as transformadas de Laplace de x(t) e y(t).Mostrar resposta e comentário
Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: A afirmação sobre a função de transferência está ERRADA por algumas razões fundamentais na aplicação da transformada de Laplace na resolução de equações diferenciais. Vamos esclarecer isso passo a passo:
Para determinar a função de transferência, precisamos aplicar a transformada de Laplace a cada termo da equação diferencial original. Nesse caso, temos a seguinte forma geral da equação:
\(y''(t) + y'(t) + 4y(t) = x(t)\)
Ao aplicar a transformada de Laplace, utilizamos as propriedades específicas para cada termo, resultando em:
\(L\{y''(t)\} + L\{y'(t)\} + 4L\{y(t)\} = L\{x(t)\}\)
Utilizando as seguintes definições:
- \(L\{y(t)\} = Y(s)\)
- \(L\{y'(t)\} = sY(s) - y(0)\)
- \(L\{y''(t)\} = s^2 Y(s) - sy(0) - y'(0)\)
Substituindo todos esses termos na equação, obtemos:
\([s^2 Y(s) - sy(0) - y'(0)] + [sY(s) - y(0)] + 4Y(s) = X(s)\)
Agora, se considerarmos que \(y(0) = 0\) e \(y'(0) = 0\) (condições iniciais padrão), a equação simplifica para:
\(s^2 Y(s) + sY(s) + 4Y(s) = X(s)\)
Fatorando a expressão da esquerda, temos:
\(Y(s)(s^2 + s + 4) = X(s)\)
Portanto, a relação entre as transformadas de entrada e saída se expressa pela função de transferência:
\(\frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{1}{s^2 + s + 4}\)
Dessa forma, fica claro que a função de transferência não é simplesmente a razão dada na assertiva inicial, indicando um erro na formulação da resposta. Assim, reafirmamos que a assertiva está ERRADA.
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