Acerca das operações com números reais e suas propriedades, julgue o item a seguir. Considere que x e y sejam dois números naturais maiores que 1, de modo que o número x3 − y3 seja

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Comentário: Para compreender por que a afirmação está CERTA, vamos analisar a expressão \(x^3 - y^3\). Essa expressão pode ser fatorada da seguinte maneira:

\(x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)\)

O enunciado menciona que \(x^3 - y^3\) é um número positivo que possui apenas dois divisores: 1 e o próprio número. Isso implica que \(x^3 - y^3\) é um número primo.

Agora, vamos considerar as duas partes da fatoração:

1. Se \(x - y = 1\): Neste caso, temos

\(x^3 - y^3 = 1 \cdot (x^2 + xy + y^2)\)

Como \(x - y = 1\), isso nos mostra que \(x = y + 1\), ou seja, \(x\) é o sucessor de \(y\).

2. Se \(x^2 + xy + y^2 = 1\): Essa opção não é possível, uma vez que \(x\) e \(y\) são números naturais maiores que 1. Portanto, \(x^2 + xy + y^2\) não pode ser igual a 1.

Logo, a única possibilidade que se mantém válida é a de que \(x - y = 1\). Portanto, podemos afirmar que \(x\) é o sucessor de \(y\), o que confirma que o item está CERTO.