Acerca das operações com números reais e suas propriedades, julgue o item a seguir. A soma de dois números irracionais positivos é sempre um número irracional.

Gabarito

Errado

Comentário do professor

A afirmação foi julgada ERRADO porque basta um contraexemplo para refutá‑la. Não é necessário provar para todos os casos, apenas encontrar um caso em que a soma de dois números irracionais positivos não seja irracional.

Considere \(a=5+\sqrt{2}\) e \(b=5-\sqrt{2}\). Ambos são positivos e irracionais, porém

\(a+b=(5+\sqrt{2})+(5-\sqrt{2})=10\), que é um número racional.

Portanto, a soma de dois irracionais pode ser racional quando as partes irracionais se cancelam, e pode ser irracional em outros casos. Em resumo, os irracionais não são fechados sob adição, logo a afirmativa é falsa.