Questão FC86640
Acerca das operações com números reais e suas propriedades, julgue o item a seguir. Se a e b são números reais que satisfazem a < b < 0, então é correto concluir que e que
Conjuntos
CEBRASPE (CESPE) · 2021
Se a e b são números reais que satisfazem a < b < 0, então é correto concluir que
e que
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: A afirmação apresentada é ERRADA, e podemos justificar isso de maneira simples e direta. Vamos analisar as condições dadas:
Se temos que a e b são números reais que satisfazem a < b < 0, sabemos que ambos são negativos. Agora, vamos considerar as duas desigualdades mencionadas na questão:
I) Para \( \frac{1}{a} < \frac{1}{b} < 0 \):
Vamos escolher exemplos que respeitem a condição a < b < 0. Por exemplo, se escolhermos a = -3 e b = -2, temos:
\( \frac{1}{-3} < \frac{1}{-2} \)
Isso se traduz em:
\( -\frac{1}{3} < -\frac{1}{2} \)
Entretanto, essa desigualdade é verdadeira, pois de fato \(-\frac{1}{3}\) é maior que \(-\frac{1}{2}\). Portanto, essa parte não nos ajuda a mostrar que a afirmação é falsa.
II) Agora, vamos considerar a segunda desigualdade \( a^2 > b^2 > 0 \):
Usando os mesmos valores de antes, temos:
\((-3)^2 > (-2)^2 > 0\)
Isso resulta em:
\( 9 > 4 > 0 \)
O que é verdadeiro. Portanto, nesse caso, essa parte da desigualdade também se mantém.
Ao analisarmos essas duas partes, podemos perceber que precisamos de um cenário onde a primeira parte falhe. Vamos tentar com outros números:
Suponha agora que a = -1 e b = -0.5. Então:
Para I:
\( \frac{1}{-1} < \frac{1}{-0.5} < 0 \)
que se traduz em:
\( -1 < -2 < 0 \)
Aqui a desigualdade não se sustenta. Portanto, a afirmação é incorreta, pois não podemos garantir que ambas as desigualdades se mantenham para números reais a e b que cumprem a condição inicial.
Assim, como conseguimos encontrar situações onde a primeira desigualdade falha, a conclusão é que o item está ERRADO.
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