Questão FC86641
Sendo b e n dois números inteiros positivos, sabe-se que n pode ser escrito como combinação linear de potências de b: n = a0+a1.b+a2.b2+⋯+am.bm em que 0 ≤ aK < b, para todo k. Cons
Expressões Aritméticas
CEBRASPE (CESPE) · 2022
Considerando as informações apresentadas, julgue o seguinte item, acerca dessa representação de n.
Se n = 2m - 1, com m > 1, então n = 1 + 2 + 22 + ... + 2m-1.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Para entender por que a afirmação é CERTA, vamos analisar a relação entre a expressão \( n = 2^m - 1 \) e a soma de potências de 2.
A expressão \( n = 2^m - 1 \) representa um número que é um a menos que uma potência de 2. Isso significa que estamos buscando a soma de todas as potências de 2 que vão desde \( 2^0 \) até \( 2^{m-1} \).
A soma das potências de 2 pode ser expressa como:
\( n = 2^0 + 2^1 + 2^2 + \ldots + 2^{m-1} \)
Para mostrar que essa soma é de fato igual a \( 2^m - 1 \), podemos utilizar a fórmula da soma de uma progressão geométrica. A soma \( S \) de uma PG de razão \( r \) e \( m \) termos é dada por:
\( S = a \frac{(r^m - 1)}{(r - 1)} \)
onde \( a \) é o primeiro termo. No nosso caso, temos:
\( a = 2^0 = 1 \), \( r = 2 \) e \( m \) os termos.
Assim, substituindo, temos:
\( S = 1 \frac{(2^m - 1)}{(2 - 1)} = 2^m - 1 \).
Portanto, concluímos que:
\( n = 1 + 2 + 2^2 + \ldots + 2^{m-1} = 2^m - 1 \).
Dessa forma, se \( n = 2^m - 1 \), efetivamente podemos afirmar que \( n = 1 + 2 + 2^2 + \ldots + 2^{m-1} \), confirmando que a afirmação é realmente CERTA.
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