Questão FC86688
Com relação a tópicos de matemática, julgue o item que se segue. A equação exponencial 4x + 6x = 9x tem apenas uma solução, que é dada por
Equações
CEBRASPE (CESPE) · 2021
A equação exponencial 4x + 6x = 9x tem apenas uma solução, que é dada por
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: A equação exponencial pode ser reescrita usando potências de base 2 e 3. Assim, temos:
\( (2^2)^{x} + (2 \cdot 3)^{x} = (3^{2})^{x} \)
\(2^{2x} + 2^{x} \cdot 3^{x} = 3^{2x}\)
\(2^{2x} + 2^{x} \cdot 3^{x} = 3^{2x}\)
Agora, ao fazer as substituições \( p = 2^{x} \) e \( q = 3^{x} \), a equação se transforma em:
\(p^2 + pq = q^2\)
Reorganizando, obtemos:
\(p^{2} + pq - q^{2} = 0\)
Essa é uma equação quadrática em relação a \( p \). Para resolver, utilizamos a fórmula de Bhaskara:
\(\Delta = q^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-q^{2}) = 5q^{2}\)
Os resultados a partir da fórmula de Bhaskara para \( p \) são:
\(p = \frac{-q \pm \sqrt{5}q}{2}\)
O que resulta em:
\(p/q = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}\)
Voltando para as variáveis originais e usando a definição de logaritmos:
\(\frac{2^{x}}{3^{x}} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}\)
ou seja, temos:
\(\left(\frac{2}{3}\right)^{x} = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\)
Por definição, se \( a = b^{x} \), então \( x = \log_{b}(a) \). Assim, encontramos:
\(x = \log_{2/3}\left(\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\right)\)
Para garantir que essa solução seja válida, devemos verificar se o valor de \( \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \) é positivo, o que é verdade.
Portanto, a equação exponencial apresentada realmente possui apenas uma solução, confirmando que a afirmação do item está CERTA.
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