Questão FC86691
O triangulo aritmético, apresentado por Pascal em sua obra Traité du Triangle Arithmétique (1665), ilustrado a seguir, mostra uma tabela cuja primeira linha é formada com todos os
Progressão Aritmética
CEBRASPE (CESPE) · 2022
O elemento situado na n-ésima coluna da terceira linha pode sempre ser obtido pela expressão
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: A afirmação está CERTA e podemos compreendê-la analisando a terceira linha do triângulo de Pascal.
Na terceira linha, cada posição é o resultado da soma dos elementos da linha anterior. Por exemplo, se considerarmos a linha que antecede a terceira, teremos os números 1, 2, 3, 4, ...
Ao analisarmos a posição desejada, podemos observar que o valor na terceira linha e na n-ésima coluna é, na verdade, a soma dos n primeiros números naturais. Essa soma é representada pela fórmula:
\( S_n = \frac{n(n + 1)}{2} \)
Aqui, \( n \) representa a n-ésima contagem de números: para a 3ª posição, temos \( n = 3 \), e podemos calcular:
\( S_3 = \frac{3(3 + 1)}{2} = \frac{3 \cdot 4}{2} = 6 \)
Para outra posição, como a 4ª, teríamos:
\( S_4 = \frac{4(4 + 1)}{2} = \frac{4 \cdot 5}{2} = 10 \)
Logo, o resultado de cada elemento na terceira linha corresponde à soma dos primeiros números naturais até \( n \). Isso confirma que todos eles podem ser obtidos pela expressão apresentada, validando assim a afirmação.
Portanto, podemos concluir que a fórmula é válida para toda e qualquer posição na terceira linha do triângulo, reforçando a assertiva da questão.
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