Considere que P(t) = 160.(3/2)t expresse a quantidade aproximada de moradores de um determinado condomínio em t anos para 0 ≤ t ≤ 15, em que t = 0 corresponda ao momento de constit

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Calcula-se \(P(1)=160\left(\tfrac{3}{2}\right)^1=240\) e \(P(3)=160\left(\tfrac{3}{2}\right)^3=540\), portanto o valor de \(P\) nos inteiros fornecidos confirma os termos dados.

Tomando \(a_1=240\) e sabendo que \(a_3=540\), da relação da progressão geométrica \(a_3=a_1\cdot q^2\) vem \(q^2=\dfrac{540}{240}=\dfrac{9}{4}\), logo \(q=\tfrac{3}{2}\).

Observe também que a própria função tem razão constante, pois \(\dfrac{P(t+1)}{P(t)}=\dfrac{160(3/2)^{t+1}}{160(3/2)^t}=\tfrac{3}{2}\), confirming a natureza geométrica.

O termo geral da PG é \(a_n=a_1\cdot q^{\,n-1}=240\left(\tfrac{3}{2}\right)^{n-1}\). Como \(P(n)=160\left(\tfrac{3}{2}\right)^n=160\left(\tfrac{3}{2}\right)\left(\tfrac{3}{2}\right)^{n-1}=240\left(\tfrac{3}{2}\right)^{n-1}\), conclui-se que para \(n=1,\dots,15\) os quinze primeiros termos da PG coincidem com \(P(n)\).