Julgue o próximo item, relativo a sequências de números reais. a = 3,a = 5 a = 12 Considere-se que (an) seja uma sequência tal que a6 = 3,a7 = 5 e a9 = 12. Nesse caso, é possível e

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Comentário: Para que uma sequência \( (a_n) \) forme uma Progressão Geométrica (P.G.), é essencial que a razão entre quaisquer dois termos consecutivos seja a mesma. Neste caso, temos os termos:

\( a_6 = 3, \)
\( a_7 = 5, \)
\( a_9 = 12. \)

Precisamos determinar o valor de \( a_8 \) tal que \( a_6, a_7, a_8, a_9 \) estejam em P.G. Isso implica que:

\(\frac{a_7}{a_6} = \frac{a_8}{a_7} = \frac{a_9}{a_8}\)

Vamos calcular as razões:

Da primeira razão:

\(\frac{a_7}{a_6} = \frac{5}{3}\)

Da segunda razão:

\(\frac{a_8}{a_7} = \frac{a_8}{5}\)

A terceira razão deve ser:

\(\frac{a_9}{a_8} = \frac{12}{a_8}\)

O que nos leva ao seguinte sistema de equações:

\(\frac{5}{3} = \frac{a_8}{5}\)
\(\frac{a_8}{5} = \frac{12}{a_8}\)

Resolvendo a primeira igualdade:

\(5 \cdot 5 = 3 \cdot a_8 \)
\(25 = 3 a_8 \)
\(\Rightarrow a_8 = \frac{25}{3}\)

Agora, vamos verificar a segunda igualdade:

\( a_8^2 = 12 \cdot 5\)
\( a_8^2 = 60\)
\(\Rightarrow a_8 = \sqrt{60} = \pm \sqrt{60}\)

Ao analisarmos os dois valores obtidos:

• Da primeira equação, \( a_8 = \frac{25}{3} \)
• Da segunda equação, \( a_8 = \sqrt{60} \approx 7,75 \) (considerando apenas a parte positiva para se manter em números reais)

Como os dois valores que encontramos para \( a_8 \) são diferentes, não é possível estabelecer um único valor para \( a_8 \) que mantenha a sequência em P.G.
Portanto, a afirmação do item está ERRADA.