Julgue o próximo item, relativo a sequências de números reais. Existe uma sequência (an) que é, simultaneamente, uma progressão aritmética e uma progressão geométrica.

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Comentário: A afirmação de que existe uma sequência \( (a_n) \) que é, simultaneamente, uma progressão aritmética (P.A.) e uma progressão geométrica (P.G.) é CERTO.

Vamos entender por que isso é verdade:

Primeiramente, uma progressão aritmética é definida por uma sequência em que a diferença entre dois termos consecutivos é sempre a mesma. Assim, para uma P.A com primeiro termo \( a \) e razão \( r \), temos:

\( a_1 = a \\ \) \( a_2 = a + r \\ \) \( a_3 = a + 2r \\ \)...\

Por outro lado, uma progressão geométrica é uma sequência em que a razão entre dois termos consecutivos é constante. Para uma P.G com primeiro termo \( a \) e razão \( q \), temos:

\( a_1 = a \\ \) \( a_2 = aq \\ \) \( a_3 = aq^2 \\ \)...\

Agora, se escolhermos \( r = 0 \) para a P.A e \( q = 1 \) para a P.G, notamos que, neste caso, ambos se tornam:

\( a_1 = a \\ \) \( a_2 = a \\ \) \( a_3 = a \\ \)...\

Ou seja, todos os termos da sequência são iguais a \( a \). Isso significa que temos uma sequência constante, que é uma situação válida para ambas as definições de P.A e P.G.

Portanto, concluímos que a afirmação da questão está correta, já que uma sequência constante atende às condições de ser uma P.A e uma P.G ao mesmo tempo.

Assim, o gabarito é CERTO.