Questão FC86704
Julgue o seguinte item, a respeito de funções reais. Se f : R → R e o gráfico de f for uma reta, tal que f(2) = 0 e f(−3) = 5, então f(4x) é divisível por 2 para todo x ∈ Z.
Funções e Inequações
CEBRASPE (CESPE) · 2022
Se f : R → R e o gráfico de f for uma reta, tal que f(2) = 0 e f(−3) = 5, então f(4x) é divisível por 2 para todo x ∈ Z.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Vamos analisar a afirmação dada sobre a função f. Como f : R → R é uma função linear, podemos expressá-la na forma f(x) = ax + b, onde a é diferente de zero (já que a função é uma reta).
Sabemos que:
1. f(2) = 0 implica \(0 = 2a + b \quad (1)\)
2. f(-3) = 5 implica \(5 = -3a + b \quad (2)\)
Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Subtraindo a equação (1) da equação (2), temos:
\( \begin{align*} 0 &= 2a + b \\5 &= -3a + b \end{align*} \)\\Subtraindo as duas equações:
\(5 - 0 = (-3a + b) - (2a + b)\)
Isso se simplifica para:
\(5 = -5a\)
Logo, encontramos que a = -1. Agora, substituímos a na equação (1):
\(0 = 2(-1) + b \Rightarrow 0 = -2 + b \Rightarrow b = 2\). Portanto, a função é:
\(f(x) = -x + 2.\)
Agora, precisamos calcular f(4x):
\(f(4x) = -4x + 2.\)
Colocando 2 em evidência, temos:
\(f(4x) = 2(-2x + 1).\)
Como o fator 2 está em evidência, vemos que f(4x) é divisível por 2 para qualquer inteiro x.
Portanto, a proposição está correta, e o gabarito é CERTO.
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