Questão FC86723
Acerca das equações e inequações de números reais, julgue o item a seguir. A equação ∣x ∣3 − 6⋅ ∣ x ∣2 +5⋅ ∣ x ∣= tem exatamente cinco raízes reais distintas.
Funções e Inequações
CEBRASPE (CESPE) · 2021
A equação ∣x ∣3 − 6⋅ ∣ x ∣2 +5⋅ ∣ x ∣= tem exatamente cinco raízes reais distintas.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Vamos analisar a equação \(|x|^3 - 6 \cdot |x|^2 + 5 \cdot |x| = 0\) para verificar o número de raízes reais distintas que ela possui.
Primeiro, fazemos a substituição y = |x|, transformando a equação em
\(y^3 - 6y^2 + 5y = 0\).
Agora, podemos fatorar y da equação:
\(y(y^2 - 6y + 5) = 0\).
A partir dessa fatoração, obtemos imediatamente a solução y = 0. Agora, devemos analisar a equação quadrática y^2 - 6y + 5 = 0.
Usando a fórmula de Bháskara, temos:
\(\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5\)
\(\Delta = 36 - 20 = 16\).
As raízes desta equação podem ser encontradas como:
\(y = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2}\)
\(y = \frac{6 \pm 4}{2}\), resultando em:
\(y = 5\) e \(y = 1\).
Com as raízes y = 0\), y = 5\) e y = 1\), agora devemos retornar ao valor original de x através da substituição y = |x|\). Isso nos dá as seguintes soluções:
Para y = 0:
\(|x| = 0 \Rightarrow x = 0\).
Para y = 5\:
\(|x| = 5 \Rightarrow x = 5\) ou \(x = -5\).
Para y = 1\:
\(|x| = 1 \Rightarrow x = 1\) ou \(x = -1\).
A lista completa das raízes reais distintas é: -5, -1, 0, 1, 5, totalizando assim cinco raízes reais distintas.
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