Julgue o item a seguir, relativo a triângulos retângulos, funções trigonométricas e geometria analítica. Se x é um ângulo entre 0º e 180º, tal que , então x = 60º.

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Comentário: A afirmação de que \( x = 60^\circ \) está ERRADA. Para verificar isso, podemos utilizar a fórmula da identidade trigonométrica que relaciona o cosseno de uma soma de ângulos:

Imagine que temos \( x \) como um ângulo que satisfaz a condição indicada. Se \( x = 60^\circ \), podemos aplicar a identidade:\
\[\cos(45^\circ + x) = \cos(45^\circ)\cos(x) - \sen(45^\circ)\sen(x)\]

Sabemos que:
\[\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2},\ \sen(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2},\ \cos(60^\circ) = \frac{1}{2},\ \text{e}\ \sen(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Substituindo os valores na identidade, temos:
\[\cos(45^\circ + 60^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]
Que resulta em:
\[\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}\]

Para determinar o sinal do resultado, podemos analisar o valor de \( \sqrt{2} \) e \( \sqrt{6} \). Note que \( \sqrt{2} \) é aproximadamente 1.414 e \( \sqrt{6} \) é aproximadamente 2.449. Portanto, \( \sqrt{2} - \sqrt{6} < 0 \), o que implica que:
\[\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} < 0\]

Dessa forma, concluímos que \( \cos(45^\circ + 60^\circ) < 0 \), contradizendo a condição inicial que nos foi apresentada. Portanto, de fato, \( x \) não pode ser igual a \( 60^\circ \).